Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate eine Konstante k: f '(t) = k
Wegen f '(t) ≈ Δf/Δt = k folgt also: Δf = k ⋅ Δt, d. h. der Zuwachs Δf ist proportional zur Zeitspanne Δt. k bezeichnet man auch als Proportionalitätskonstante, anschaulich beschreibt k die Steigung der Geraden.
Hinweis: Unter Δf bzw. Δt versteht man Differenzen:
DGL: f '(t) = k → Lösung: f(t) = k ⋅ t + C
Beispiel: Ich zahle jeden Monat 5 € auf ein Konto ein: f(t) = 5 ⋅ t + C mit t in Monaten. Die Konstante C bestimmt man aus der Bedingung f(0) = C (Deutung?).
Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand: : f '(t) = k ⋅ f(t)
Bei einer exponentiell wachsenden Größe f(t) verändert sich auch die Wachstumsrate (Warum?), deshalb wächst der aktuelle Bestand f(t) in gleichen Zeitspannen Δt auch um den gleichen Faktor b: f2 = b ⋅ f1 → b = f2 / f1, Anwendung: Quotiententest!
DGL: f '(t) = k ⋅ f(t) → Lösung: f(t) = a ⋅ ekt mit a = f(0) = Anfangsbestand und k: Wachstumsfaktor.
Beispiel: Milch wird (nach der Milch-Güteverordnung) in die zwei Güteklassen 1 und 2 eingeteilt. Dabei enthält Milch der Güteklasse 1 bis zu 100 000 Keime pro ml. In warmer Umgebung (20°C bis 30°C) vermehren sich die Keime exponentiell.
Aufgaben zu diesem Beispiel
Vertiefung: Ein Lernpfad zu exponentiellen Wachstums- und Abnahmeprozessen
→ Sinnvoll ist hier Aufgabe 2.4 Abkühlung
Exkurs: Quotiententest
Für gleiche Zeitabstände Δt muss der Quotient der Funktionswerte f(t2)/f(t1) konstant sein: f(t2) = b ⋅ f(t1)
Beispiel: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4.9 → 4.9/10 = 0.49 = b ⋅ b = b² ↔ b = √ 0.49 = 0.7 → b = 0.7 = ek ↔ k = ln(0.7) = -0.3567 → f(t) = a ⋅ e-0.3567t mit a = f(0)
Beachte: Im Beispiel ist f3 = b ⋅ b ⋅ f1 = b² ⋅ f1 (und f2 = b ⋅ f1)
Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zur Differenz aus Bestand f(t) und Grenze G, also zum möglichen Restbestand: f '(t) = k ⋅ (G - f(t))
Das beschränkte Wachstum kann durch die Funktion f(t) = G + b ⋅ e-kt (mit b < 0 und k > 0) beschrieben werden. Daraus folgt: f(0) = G + b = Anfangsbestand
DGL: f '(t) = k ⋅ (G - f(t))
Beispiel: Über eine Tropfinfusion bekommt ein Patient ein Medikament. Man geht davon aus, dass der Patient
Aufgaben zu diesem Beispiel
Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) findet sich ein Beispiel auf S. 158/159. → Sinnvolle Aufgaben: S. 161/9 und S. 162/12.
Vertiefung: Beschränktes Wachstum
Beim logistischen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand f(t) und zum Restbestand G - f(t):
f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t)) (mit k > 0).
G steht hier wieder für die obere Grenze.
Die Wachstumsfunktion lautet: $$ f(t) = \frac {G} {1 + b \cdot e^{-kGt}} $$
Aus der Wachstumsfunktion liest man für t = 0 ab (Deutung?): $ f(0) = \frac {G} {1 + b} $
DGL: f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t))
Beispiel: In diesem Beispiel betrachten wir einen Ureinwohnerstamm im Regenwald. Isoliert von der Außenwelt leben hier 5000 Ureinwohner. Einer der Ureinwohner bekommt eine hoch ansteckende (aber ungefährliche!) Influenza. 4 Wochen später zählt man 300 Kranke.
Aufgaben zu diesem Beispiel
Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) findet sich ein Beispiel auf S. 163/164. Als Aufgaben sinnvoll: S. 165/Nr. 14 und Nr. 15.
Vertiefung: Logistisches Wachstum
Hinweis zur Notation: Der Exponent der e-Funktion: k⋅G⋅t wird z. B. im Cornelsen auch folgendermaßen geschrieben: q ⋅ t mit q = k⋅G (wobei der Cornelsen statt q den Buchstaben k verwendet!).
Beim vergifteten Wachstum wird das Wachstum einer Population gehemmt, was bis zum Aussterben der Population führen kann. Ein Beispiel findet sich in der 2. Kursarbeit (→ perorale Medikamentation).
Fremdvergiftetes Wachstum: Hier nimmt die Giftmenge proportional zur Zeit t zu (→ c ⋅ t), während der Wachstumsfaktor (k - c ⋅ t) insgesamt mit der Zeit abnimmt. Für die Änderungsrate ergibt sich: f '(t) = (k - c ⋅ t) ⋅ f(t)
Die Wachstumsfunktion lautet: f(t) = a ⋅ ekt - 0.5 ⋅ c ⋅ t2 mit a = f(0) = Anfangsbestand
Beispiel: Während man beim logistischen Wachstum davon ausgeht, dass es eine obere Grenze G gibt für das Wachstum, ist es bei einer Grippeepidemie eher so, dass die Grippewelle langsam abebbt. Das spricht für das vergiftete Wachstum: die Ansteckung (= Wachstum) erfassen wir über die Ansteckungsrate k, der "Giftmenge" entspricht in diesem Beispiel die Gesundungsrate c.
Aufgaben zu diesem Beispiel
Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) die Aufgaben S. 152/5 und S. 179/4. Weitere Aufgaben zum vergifteten Wachstum: S. 183/12 und 13.
Vertiefung: Vergiftetes Wachstum (Wikipedia-Artikel)
Hinweis zur Wachstumsfunktion: Die Art der Wachstumsfunktion hängt natürlich von der Änderungsrate ab (sprich von der DGL!). Neben der oben genannten Wachstumsfunktion f(t) = a ⋅ ekt - 0.5 ⋅ c ⋅ t2 zum fremdvergifteten Wachstum sind zwei weitere Klassen von Funktionen möglich:
Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant, d.h. _______________________
. Deshalb ist der Quotient aus ____________________________
immer gleich.
Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, d.h. ____________________
. Deshalb ist der Quotient aus __________________
immer gleich.
Jochen Pellatz: Wachstum und Zerfall: Bietet eine Zusammenfassung zum Thema Wachstumsprozesse.
Auf der Seite von G. Roolfs gibt es sehr viel (!) Material:
Weitere Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen
Der Lückentext stammt von folgender Seite: https://www.gutefrage.net/frage/lineares-und-exponentielles-wachstum-quotient-aenderungsrate.
→ Arbeitsblatt mit den Aufgaben oben.
Quellen der Beispiele:
Lückentext
Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant, d.h. in gleichen Zeitspannen Δt hat man den gleichen Zuwachs Δf. Deshalb ist der Quotient aus Δf und Δt immer gleich.
Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, d.h. in gleichen Zeitspannen Δt wächst f(t) um den gleichen Faktor (bzw. um den gleichen Prozentsatz). Deshalb ist der Quotient aus (f2/f1) (bzw. f(t2)/f(t1) ) immer gleich.
Lösungen der Wachstumsfunktionen
... beim exponentiellen Wachstum (→ Milch-Beispiel > Graph): g(t) = 100 000 ⋅ e0,3892 ⋅ t
> Lösung
... beim beschränkten Wachstum ( > Graph): f(t) = 80 – 80 ⋅ e– 0.05 ⋅ t
> Lösung
... beim logistischen Wachstum ( > Graph): $ f(t) = \frac {5000} {1 + 4999 \cdot e^{- 1,44135 \cdot t}} $ (mit k ≈ 2,8827 ⋅ 10–4 )
> Lösung
... beim vergifteten Wachstum ( > Graph): f(t) = 0,1 ⋅ e0.25 ⋅ t – 0.015 ⋅ t² (mit c ≈ 0,015 = 1,5 ⋅ 10–2 )
> Lösung