Wachstum - Wachstumsprozesse

sp, Vers. 010, 2019-04-19


Lineares Wachstum

Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate eine Konstante k: f '(t) = k

Wegen f '(t) ≈ Δf/Δt = k folgt also: Δf = k ⋅ Δt, d. h. der Zuwachs Δf ist proportional zur Zeitspanne Δt. k bezeichnet man auch als Proportionalitätskonstante, anschaulich beschreibt k die Steigung der Geraden.

  • Hinweis: Unter Δf bzw. Δt versteht man Differenzen:

    • Δt := t₂ – t₁
    • Δf := f₂ – f₁ := f(t₂) – f(t₁).
  • DGL: f '(t) = k → Lösung: f(t) = k ⋅ t + C

  • Beispiel: Ich zahle jeden Monat 5 € auf ein Konto ein: f(t) = 5 ⋅ t + C mit t in Monaten. Die Konstante C bestimmt man aus der Bedingung f(0) = C (Deutung?).


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Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand: : f '(t) = k ⋅ f(t)

Bei einer exponentiell wachsenden Größe f(t) verändert sich auch die Wachstumsrate (Warum?), deshalb wächst der aktuelle Bestand f(t) in gleichen Zeitspannen Δt auch um den gleichen Faktor b: f2 = b ⋅ f1b = f2 / f1, Anwendung: Quotiententest!

  • DGL: f '(t) = k ⋅ f(t) → Lösung: f(t) = a ⋅ ekt mit a = f(0) = Anfangsbestand und k: Wachstumsfaktor.

  • Beispiel: Milch wird (nach der Milch-Güteverordnung) in die zwei Güteklassen 1 und 2 eingeteilt. Dabei enthält Milch der Güteklasse 1 bis zu 100 000 Keime pro ml. In warmer Umgebung (20°C bis 30°C) vermehren sich die Keime exponentiell.

  • Aufgaben zu diesem Beispiel

    • (1) Wir betrachten Milch der Güteklasse 1: Nach t = 5 h seien pro ml etwa 700 000 Keime vorhanden. Beschreibe das Beispiel durch eine Exponentialfunktion g(t) (mit t in Stunden!)
    • (2) Erläutere, was die Funktion g(t) im Sachzusammenhang beschreibt.
    • (3) Bestimme für die Lösung in (1) die Änderungsrate. Deutung im Sachzusammenhang?
    • (4) Milch wird sauer, wenn sie ca. 1 000 000 Keime pro ml enthält. Berechne, wann die Milch sauer wird.
    • (5) Erläutere, wie man die Verdopplungszeit tD bestimmt. Deutung im Sachzusammenhang?
  • Vertiefung: Ein Lernpfad zu exponentiellen Wachstums- und Abnahmeprozessen
    → Sinnvoll ist hier Aufgabe 2.4 Abkühlung


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Exkurs: Quotiententest

Für gleiche Zeitabstände Δt muss der Quotient der Funktionswerte f(t2)/f(t1) konstant sein: f(t2) = b ⋅ f(t1)

  • Beispiel: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4.9 → 4.9/10 = 0.49 = b ⋅ b = b² ↔ b = √ 0.49 = 0.7 → b = 0.7 = ekk = ln(0.7) = -0.3567 → f(t) = a ⋅ e-0.3567t mit a = f(0)

  • Beachte: Im Beispiel ist f3 = b ⋅ b ⋅ f1 = b² ⋅ f1 (und f2 = b ⋅ f1)


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Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zur Differenz aus Bestand f(t) und Grenze G, also zum möglichen Restbestand: f '(t) = k ⋅ (G - f(t))

Das beschränkte Wachstum kann durch die Funktion f(t) = G + b ⋅ e-kt (mit b < 0 und k > 0) beschrieben werden. Daraus folgt: f(0) = G + b = Anfangsbestand

  • DGL: f '(t) = k ⋅ (G - f(t))

  • Beispiel: Über eine Tropfinfusion bekommt ein Patient ein Medikament. Man geht davon aus, dass der Patient

    • 4 mg/min des Medikamentes aufnimmt
    • 5% des aktuell vorhandenen Medikamentes im Blut über die Niere ausscheidet.
  • Aufgaben zu diesem Beispiel

    • (1) Die maximale Menge des Medikamentes im Blut darf 80 mg nicht überschreiten, der Anfangswert sei f(0)=0. Gebe mit diesen Angaben eine Wachstumsfunktion f(t) an (t in min).
    • (2) Erläutere, was die Wachstumsfunktion im Sachzusammenhang beschreibt.
    • (3) Erläutere, an welcher Stelle die Medikamentenaufnahme von 4 mg/min berücksichtigt wird.
    • (4) Bestimme den Zeitpunkt t, zu dem 90% des maximalen Wertes erreicht sind.
  • Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) findet sich ein Beispiel auf S. 158/159. → Sinnvolle Aufgaben: S. 161/9 und S. 162/12.

  • Vertiefung: Beschränktes Wachstum


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Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand f(t) und zum Restbestand G - f(t):

f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t)) (mit k > 0).

G steht hier wieder für die obere Grenze.

Die Wachstumsfunktion lautet: $$ f(t) = \frac {G} {1 + b \cdot e^{-kGt}} $$

Aus der Wachstumsfunktion liest man für t = 0 ab (Deutung?): $ f(0) = \frac {G} {1 + b} $

  • DGL: f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t))

  • Beispiel: In diesem Beispiel betrachten wir einen Ureinwohnerstamm im Regenwald. Isoliert von der Außenwelt leben hier 5000 Ureinwohner. Einer der Ureinwohner bekommt eine hoch ansteckende (aber ungefährliche!) Influenza. 4 Wochen später zählt man 300 Kranke.

  • Aufgaben zu diesem Beispiel

    • (1) Begründe die Annahme des logistischen Wachstum in diesem Beispiel.
    • (2) Bestimme die Wachstumsfunktion f(t) (t in Wochen).
    • (3) Berechne den Zeitpunkt t, an dem die Hälfte der Ureinwohner erkrankt ist. (→ Deutung im Sachzusammenhang?)
    • (4) Bestimme die mittlere Zunahme an Erkrankten (pro Woche) in den ersten 2 Monaten.
  • Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) findet sich ein Beispiel auf S. 163/164. Als Aufgaben sinnvoll: S. 165/Nr. 14 und Nr. 15.

  • Vertiefung: Logistisches Wachstum

  • Hinweis zur Notation: Der Exponent der e-Funktion: k⋅G⋅t wird z. B. im Cornelsen auch folgendermaßen geschrieben: q ⋅ t mit q = k⋅G (wobei der Cornelsen statt q den Buchstaben k verwendet!).


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Vergiftetes Wachstum

Beim vergifteten Wachstum wird das Wachstum einer Population gehemmt, was bis zum Aussterben der Population führen kann. Ein Beispiel findet sich in der 2. Kursarbeit (→ perorale Medikamentation).

Fremdvergiftetes Wachstum: Hier nimmt die Giftmenge proportional zur Zeit t zu (→ c ⋅ t), während der Wachstumsfaktor (k - c ⋅ t) insgesamt mit der Zeit abnimmt. Für die Änderungsrate ergibt sich: f '(t) = (k - c ⋅ t) ⋅ f(t)

Die Wachstumsfunktion lautet: f(t) = a ⋅ ekt - 0.5 ⋅ c ⋅ t2 mit a = f(0) = Anfangsbestand

  • Beispiel: Während man beim logistischen Wachstum davon ausgeht, dass es eine obere Grenze G gibt für das Wachstum, ist es bei einer Grippeepidemie eher so, dass die Grippewelle langsam abebbt. Das spricht für das vergiftete Wachstum: die Ansteckung (= Wachstum) erfassen wir über die Ansteckungsrate k, der "Giftmenge" entspricht in diesem Beispiel die Gesundungsrate c.

  • Aufgaben zu diesem Beispiel

    • (1) Zu Beginn seien 10 Personen infiziert, die Ansteckungsrate liege bei 0,25. Die Funktion f(t) zähle die Anzahl der Infizierten in 100. Bestimme die Wachstumsfunktion f(t) (t in Tagen), falls es nach 5 Tagen 24 Infizierte gibt.
    • (2) Zeige durch eine Skizze, dass die Wachstumsfunktion aus (1) die Grippeepidemie angemesen beschreibt.
    • (3) Bestimme die maximale Anzahl an Infizierten.
    • (4) Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Zunahme der Infizierten sowie den Zeitpunkt der maximalen Abnahme.
  • Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) die Aufgaben S. 152/5 und S. 179/4. Weitere Aufgaben zum vergifteten Wachstum: S. 183/12 und 13.

  • Vertiefung: Vergiftetes Wachstum (Wikipedia-Artikel)

  • Hinweis zur Wachstumsfunktion: Die Art der Wachstumsfunktion hängt natürlich von der Änderungsrate ab (sprich von der DGL!). Neben der oben genannten Wachstumsfunktion f(t) = a ⋅ ekt - 0.5 ⋅ c ⋅ t2 zum fremdvergifteten Wachstum sind zwei weitere Klassen von Funktionen möglich:

    • f(t) = (a + b ⋅ t) ⋅ e–kt, also eine Summe von Exponentialfunktionen.
    • f(t) = a ⋅ (e–pt - e–qt), also eine Differenz von Exponentialfunktionen (→ siehe 2. Kursarbeit!).


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Lückentext

Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant, d.h. _______________________. Deshalb ist der Quotient aus ____________________________ immer gleich.

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, d.h. ____________________. Deshalb ist der Quotient aus __________________ immer gleich.


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Links


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Lösungen

Lückentext

Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant, d.h. in gleichen Zeitspannen Δt hat man den gleichen Zuwachs Δf. Deshalb ist der Quotient aus Δf und Δt immer gleich.

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, d.h. in gleichen Zeitspannen Δt wächst f(t) um den gleichen Faktor (bzw. um den gleichen Prozentsatz). Deshalb ist der Quotient aus (f2/f1) (bzw. f(t2)/f(t1) ) immer gleich.

Lösungen der Wachstumsfunktionen


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