Mathematik Q1: Aufgaben zu Wachstum & Wachstumsprozessen

Exponentielles Wachstum

• Beispiel: Milch wird (nach der Milch-Güteverordnung) in die zwei Güteklassen 1 und 2 eingeteilt. Dabei enthält Milch der Güteklasse 1 bis zu 100 000 Keime pro ml. In warmer Umgebung (20°C bis 30°C) vermehren sich die Keime exponentiell.

• Aufgaben zu diesem Beispiel

  • (1) Wir betrachten Milch der Güteklasse 1: Nach t = 5 h seien pro ml etwa 700 000 Keime vorhanden. Beschreibe das Beispiel durch eine Exponentialfunktion g(t) (mit t in Stunden!)
  • (2) Erläutere, was die Funktion g(t) im Sachzusammenhang beschreibt.
  • (3) Bestimme für die Lösung in (1) die Änderungsrate. Deutung im Sachzusammenhang?
  • (4) Milch wird sauer, wenn sie ca. 1 000 000 Keime pro ml enthält. Berechne, wann die Milch sauer wird.
  • (5) Erläutere, wie man die Verdopplungszeit t_D bestimmt. Deutung im Sachzusammenhang?

Beschränktes Wachstum

• Beispiel: Über eine Tropfinfusion bekommt ein Patient ein Medikament. Man geht davon aus, dass der Patient

  • 4 mg/min des Medikamentes aufnimmt
  • 5% des aktuell vorhandenen Medikamentes im Blut über die Niere ausscheidet.

• Aufgaben zu diesem Beispiel

  • (1) Die maximale Menge des Medikamentes im Blut darf 80 mg nicht überschreiten, der Anfangswert sei f(0)=0. Gebe mit diesen Angaben eine Wachstumsfunktion f(t) an (t in min).
  • (2) Erläutere, was die Wachstumsfunktion im Sachzusammenhang beschreibt.
  • (3) Erläutere, an welcher Stelle die Medikamentenaufnahme von 4 mg/min berücksichtigt wird.
  • (4) Bestimme den Zeitpunkt t, zu dem 90% des maximalen Wertes erreicht sind.

Logistisches Wachstum

• Beispiel: In diesem Beispiel betrachten wir einen Ureinwohnerstamm im Regenwald. Isoliert von der Außenwelt leben hier 5000 Ureinwohner. Einer der Ureinwohner bekommt eine hoch ansteckende (aber ungefährliche!) Influenza. 4 Wochen später zählt man 300 Kranke.

• Aufgaben zu diesem Beispiel

  • (1) Begründe die Annahme des logistischen Wachstum in diesem Beispiel.
  • (2) Bestimme die Wachstumsfunktion f(t) (t in Wochen).
  • (3) Berechne den Zeitpunkt t, an dem die Hälfte der Ureinwohner erkrankt ist. (→ Deutung im Sachzusammenhang?)
  • (4) Bestimme die mittlere Zunahme an Erkrankten (pro Woche) in den ersten 2 Monaten.

Vergiftetes Wachstum

• Beispiel: Während man beim logistischen Wachstum davon ausgeht, dass es eine obere Grenze G gibt für das Wachstum, ist es bei einer Grippeepidemie eher so, dass die Grippewelle langsam abebbt. Das spricht für das vergiftete Wachstum: die Ansteckung (= Wachstum) erfassen wir über die Ansteckungsrate k, der "Giftmenge" entspricht in diesem Beispiel die Gesundungsrate c.

• Aufgaben zu diesem Beispiel

  • (1) Zu Beginn seien 10 Personen infiziert, die Ansteckungsrate liege bei 0,25. Die Funktion f(t) zähle die Anzahl der Infizierten in 100. Bestimme die Wachstumsfunktion f(t) (t in Tagen), falls es nach 5 Tagen 24 Infizierte gibt.
  • (2) Zeige durch eine Skizze, dass die Wachstumsfunktion aus (1) die Grippeepidemie angemessen beschreibt.
  • (3) Bestimme die maximale Anzahl an Infizierten.
  • (4) Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Zunahme der Infizierten sowie den Zeitpunkt der maximalen Abnahme.

→ sp, 2019-04-19