(1) x = x(t) = x(t+T) = x(t+2T) = . . .
mit
x: momentane Auslenkung, auch: Elongation
Beachte: nach der Zeit T, 2T, 3T usw. ist das System wieder im gleichen Zustand!
Die Frequenz f
$$(2) f = \frac {1} {T} $$
Beispiel: Sei T = 0,02 s, dann macht das Pendel 50 Schwingungen pro Sekunde → f = 50 Hz.
Das System wird beschrieben durch
eine träge Masse m
Bewegung über die Gleichgewichtslage hinaus wg. m
Bei einer Auslenkung x wirkt auf den Körper die Kraft F
(3) F = – k ⋅ x
Minuszeichen: Federkraft ist der Auslenkung x entgegen gerichtet
(4a) Fx = m ⋅ ax = – k ⋅ x
$$(4b) a_x = - \frac {k} {m} \cdot x $$
→ Frage: Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit & Auslenkung von der Zeit t ab?
$$(5) \omega = \frac {2\pi} {T}$$
Ansatz: φ=ωt
(6a) x(t) = A ⋅ sin φ = A ⋅ sin ωt
(6b) vx(t) = v0 ⋅ cos φ = ω ⋅ A ⋅ cos ωt (mit v0 = ω ⋅ A )
(6c) ax(t) = – a0 ⋅ sin φ = – ω2 ⋅ A ⋅ sin ωt (mit a0 = – ω2 ⋅ A)
Einsetzen von (6a) in die Bewegungsgleichung (4b) liefert:
$$(7) a_x = - \frac {k} {m} \cdot x(t) = - \frac {k} {m} \cdot A \cdot sin (\omega \cdot t)$$
Gleichsetzen von (7) und (6c) ergibt
$$(8a) ω^2 = \frac {k} {m}$$
Mit Gleichung (5) zur Kreisfrequenz ω
$$(5) \omega = \frac {2\pi} {T}$$
und
$$(8b) \omega = \sqrt {\frac {k} {m}} $$
ergibt sich für die Periodendauer T →
$$(9) T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac {m} {k}} $$
Deutung: Die Periodendauer T eines
Federpendels ist um so größer,
→ Aber: Von der Amplitude ist sie unabhängig!
Beachte die Voraussetzung beim Federpedel: auslenkende Kraft und rücktreibende Kraft sind einander -wg. des Hooekschen Gesetzes- proportional!
Die Funktion (6a) x(t) = A ⋅ sin ωt
löst die Bewegungsgleichung (4a) für das Federpendel
(4a) m ⋅ ax = –k ⋅ x
Geschwindigkeit v bzw. Beschleunigung a erhält man durch ein- bzw- zweimaliges Differenzieren der Funktion (6a)