Physik Q2: Schwingungsgleichung des Federpedels

  • Eine Schwingung ist
    • ein physikalischer Vorgang, bei dem sich physikalische Zustände zeitlich periodisch ändern.
    • eine Bewegung um eine Gleichgewichtslage

Schwingung mathematisch

(1) x = x(t) = x(t+T) = x(t+2T) = . . .

mit

  • T: Periodendauer
  • x: momentane Auslenkung, auch: Elongation

  • Beachte: nach der Zeit T, 2T, 3T usw. ist das System wieder im gleichen Zustand!

Frequenz f → I

Die Frequenz f

  • gibt die Anzahl der Schwingungen je Sekunde an;
  • ist der Kehrwert der Periodendauer T.
  • Einheit: 1 Hertz = 1 Hz = s-1

$$(2) f = \frac {1} {T} $$

Frequenz f → II

Beispiel: Sei T = 0,02 s, dann macht das Pendel 50 Schwingungen pro Sekunde → f = 50 Hz.

Mathematische Beschreibung

Das System wird beschrieben durch

  • eine rücktreibende Kraft (z. B. Feder) und
  • eine träge Masse m

  • Bewegung über die Gleichgewichtslage hinaus wg. m

  • elastische Verformung der Feder → Hookesches Gesetz

Hookesches Gesetz

Bei einer Auslenkung x wirkt auf den Körper die Kraft F

(3) F = – k ⋅ x

Minuszeichen: Federkraft ist der Auslenkung x entgegen gerichtet

Bewegungsgleichung

(4a) Fx = m ⋅ ax = – k ⋅ x

$$(4b) a_x = - \frac {k} {m} \cdot x $$

  • Deutung: Die Beschleunigung a hängt von der momentanen Auslenkung x ab.

Frage: Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit & Auslenkung von der Zeit t ab?

Kreisfrequenz ω

$$(5) \omega = \frac {2\pi} {T}$$

  • Kreisfrequenz ω = Winkelgeschwindigkeit einer umlaufenden Scheibe
  • Frequenz f: beschreibt die Anzahl der Umdrehungen der Scheibe

Lösung der Bewegungsgleichung I

Ansatz: φ=ωt

(6a) x(t) = A ⋅ sin φ = A ⋅ sin ωt

(6b) vx(t) = v0 ⋅ cos φ = ω ⋅ A ⋅ cos ωt     (mit v0 = ω ⋅ A )

(6c) ax(t) = – a0 ⋅ sin φ = – ω2 ⋅ A ⋅ sin ωt   (mit a0 = – ω2 ⋅ A)

Lösung der Bewegungsgleichung II

Einsetzen von (6a) in die Bewegungsgleichung (4b) liefert:

$$(7) a_x = - \frac {k} {m} \cdot x(t) = - \frac {k} {m} \cdot A \cdot sin (\omega \cdot t)$$

Lösung der Bewegungsgleichung III

Gleichsetzen von (7) und (6c) ergibt

$$(8a) ω^2 = \frac {k} {m}$$

Lösung der Bewegungsgleichung IV

Mit Gleichung (5) zur Kreisfrequenz ω

$$(5) \omega = \frac {2\pi} {T}$$

und

$$(8b) \omega = \sqrt {\frac {k} {m}} $$

ergibt sich für die Periodendauer T

Periodendauer T

$$(9) T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac {m} {k}} $$

Deutung: Die Periodendauer T eines
Federpendels ist um so größer,

  • je größer die Masse m des Körpers und
  • je kleiner die Federkonstante k der Feder ist.

Aber: Von der Amplitude ist sie unabhängig!

Voraussetzung

Beachte die Voraussetzung beim Federpedel: auslenkende Kraft und rücktreibende Kraft sind einander -wg. des Hooekschen Gesetzes- proportional!

Zusammenfassung

Die Funktion (6a) x(t) = A ⋅ sin ωt

löst die Bewegungsgleichung (4a) für das Federpendel

(4a) m ⋅ ax = –k ⋅ x

Geschwindigkeit v bzw. Beschleunigung a erhält man durch ein- bzw- zweimaliges Differenzieren der Funktion (6a)

Ende

  • Präsentation erstellt mit Reveal.js
  • Physik Q2: 2018-02-20