Wachstumsprozesse

Hinweis: Statt von der Wachstumsrate f '(t) spricht man auch von der Wachstumsgeschwindigkeit oder von der Änderungsrate.

Lineares Wachstum

Das einfachste Wachstumsmodell! Hier ist die Wachstumsrate konstant:

f '(t) = k → $ \frac {dy} {dt} = k $ → dy = k dt → ∫ dy = ∫ kdt → y = f(t) = k⋅t + c

also eine lineare Funktion.

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die Wachstumsrate f '(t) proportional zum aktuellen Bestand f(t):

f '(t) ∝ f(t) → $ \frac {dy} {dt} = ky $ → $ \frac {1} {y} dy = kdt $
→ $ \int \frac {1} {y} dy = \int kdt $ → ln(y) = kt + c
→ y = e^kt ⋅ e^c = A ⋅ e^kt

Beschränktes Wachstum I

Beim beschränkten Wachstum gibt es eine sog. Sättigungsgrenze G
- z. B. die zur Verfügung stehende Kapazität.
Der Bestand f(t) nähert sich immer mehr der oberen Grenze G
Dann gilt aber: f '(t) → 0 (Warum?)
Folgerung: die Differenz (G - f(t)) wird immer kleiner
Die Änderungsrate f '(t) ist also proportional zu (G - f(t)) →
f '(t) ∝ (G - f(t))

Beschränktes Wachstum II

DGL des beschränkten Wachstums:
f '(t) = r ⋅ (G - f(t)) mit r ∈ $ \mathbb{R}^+ $.
Lösungen dieser DGL: f(t) = G + a ⋅ e^–kt mit k > 0.
Mit dem Anfangswert f(0) ergibt sich:
f(t) = G + (f(0) - G) ⋅ e^–kt mit k > 0.

Logistisches Wachstum I

Ein für viele Wachstumsprozesse besseres Modell des beschränkten Wachstums erhält man, wenn man davon ausgeht, dass die Wachstumsrate f '(t) sowohl

proportional zum Bestand f(t) → f '(t) ∝ f(t) als auch
proportional zu G - f(t) → f '(t) ∝ G - f(t) ist.

Logistisches Wachstum II

Die DGL lautet also:

f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t)) =
k⋅G⋅f(t) - k⋅[f(t)]² mit t ∈ $ \mathbb{R} $
DGL beschreibt das sog. logistische Wachstum
Die Lösungen nennt man logistische Funktionen
- mit der charakteristischen S-Form

Logistisches Wachstum III

Die Lösungsfunktion

f(t) = $ \frac {G} { 1 \: + \: e^{-kGt} \: \cdot \: (\frac {G} {a} - 1) } $

enthält den Anfangswert a zum Zeitpunkt t=0, also a = f(0)

Ende

Präsentation erstellt mit Reveal.js

→ sp, 2018-01-30